STUDIU
privind posibilitatea de realizare a unor scheme reduse

    Cum am putea prevedea care sunt bilele care vor iesi?
    Putem propune un grup de bile, dintre care ne putem astepta la cât mai multe dintre ele să apară la o extragere.
    Dar, tinând cont că numai 6 dintre ele sunt extrase, acest grup de bile trebuie să-l desfasurăm pe mai multe variante care să contină doar sase dintre bile.
    O putem face in mai multe moduri:
  1.     Considerând cateva bile cu sanse mai mari de reusită, pastrăm acest grup în mai multe variante si îl vom denumi bază. Având această bază, ea se completează cu celelalte bile, astfel încât să formăm variante de 6 bile.
        exemplu: avem în vedere bilele 1,2,5,10,12,15,25,32,36,40, în număr de 10. Dacă vom considera că 5,10,12 si 40 au sanse mari de reusită, formăm o bază din aceste numere, la care adăugăm restul de 1,2,15,25,32,36, în combinatii de câte două, sau pur si simplu trei variante formate din cele 6 rămase. Vom obtine:

     5 10 12 40  1  2
     5 10 12 40  1 15
     5 10 12 40  1 25
     5 10 12 40  1 32
     5 10 12 40  1 36
     5 10 12 40  2 15
     5 10 12 40  2 25
     5 10 12 40  2 32
     5 10 12 40  2 36
     5 10 12 40 15 25
     5 10 12 40 15 32
     5 10 12 40 15 36
     5 10 12 40 25 32
     5 10 12 40 25 36
     5 10 12 40 32 36
        sau
     5 10 12 40  1  2
     5 10 12 40 15 25
     5 10 12 40 32 36

  2.     Să creăm variante în care bilele apar de acelasi număr de ori, variante echilibrate. Neavând nici o bilă preferată, ne putem astepta ca oricare dintre ele să apară.
    Dacă numărul bilelor preferate este destul de mare, baza se poate desfăsura după metoda a doua. În acest fel se obtin un numar mare de variante, cu sanse mai ridicate.
    În cele ce urmează vom prezenta ca studiu un mod de a desfăsura echilibrat un set de bile.

    Să urmărim pentru început următorul exemplu:
    Dacă vrem să obtinem neapărat 2 numere din 7, aceste 7 numere se pot desfăsura în C72=21 variante a câte 2 numere.

var.nr. 1 2 3 4 5 6 7
  1 o o          
  2 o   o        
  3 o     o      
  4 o       o    
  5 o         o  
  6 o           o
  7   o o        
  8   o   o      
  9   o     o    
10   o       o  
11   o         o
12     o o      
13     o   o    
14     o     o  
15     o       o
16       o o    
17       o   o  
18       o     o
19         o o  
20         o   o
21           o o


    Însă, dacă privim mai atent tabelul se observă că variantele 1, 2 si 7 reprezintă desfăsurarea combinărilor a trei numere luate câte două si restrângem aceste trei variante de două numere la una singură, de trei numere.

    La fel si variantele 3, 4 si 16; 5, 6 si 21; 8, 10 si 17 s.a.m.d. pe care le restrângem si le trecem în următorul tabel:

var.nr. 1 2 3 4 5 6 7
  1 o o o        
  2 o     o o    
  3 o         o o
  4   o   o   o  
  5   o     o   o
  6     o o     o
  7     o   o o  



    Am obtinut 7 variante a câte trei numere care dau acelasi rezultat. Dacă alegem oricare două numere din cele 7, ele se vor afla sigur în una din cele 7 variante.

    În cazul de fată am folosit toate cele 21 de variante a câte două numere.
Sau altfel spus: C72 / C32 = 21 / 3 = 7 variante.

Observatii:
    Dacă de exemplu alegem 6 numere, le putem desfăsura în 15 variante de câte 2 numere si deoarece 15 / 3 = 5, nu vom putea construi o schemă redusă folosind toate cele 15 variante. Încercati.

Generalizare:
    În exemplul de mai sus reducerea s-a facut de la 2 la 3, cele 7 numere, în loc să le desfăsor pe 21 de variante a câte 2 numere le desfăsor in 7 variante a câte 3 numere, cu acelasi rezultat, dacă în cele 7 numere se găsesc 2 câstigătoare ele se vor găsi sigur în una din cele 7 variante.
    Deci, dacă se dau 'x' numere si vrem să facem această restrângere, conditia este:
Cx2 / C32 = x (x număr natural).
    Rezolvare:
x! / 2!(x-2)! = x · 3!/(2!·1!) => (x-2)!(x-1)x / 2(x-2)! = 3x => x-1=6 => x=7.
    Generalizând, pentru 'x' numere dorim obtinerea a 'x' variante de 'b' numere în care sa avem sigur 'a' numere în una din variante.
    Relatia este:
Cxa = x · Cba (x număr natural).

    Solutii:
  1.     pentru a=2 si b=3 obtinem x=7

    var.nr. 1 2 3 4 5 6 7
      1 o o o        
      2 o     o o    
      3 o         o o
      4   o   o   o  
      5   o     o   o
      6     o o     o
      7     o   o o  

        Probabilitatea de a obtine:
  2.     pentru a=2 si b=4 obtinem x=13

    var.nr.   1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12 13
      1 o o o o                  
      2 o       o o o            
      3 o             o o o      
      4 o                   o o o
      5   o     o     o       o  
      6   o         o   o   o    
      7   o       o       o     o
      8     o   o       o       o
      9     o     o   o     o    
    10     o       o     o   o  
    11       o   o     o     o  
    12       o o         o o    
    13       o     o o         o

        Probabilitatea de a obtine:
  3.     pentru a=2 si b=5 obtinem x=21

    var.nr.   1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
      1 o o o o o                                
      2 o         o o o o                        
      3 o                 o o o o                
      4 o                         o o o o        
      5 o                                 o o o o
      6   o       o       o           o       o  
      7   o             o   o       o       o    
      8   o           o       o   o       o      
      9   o         o           o       o       o
    10     o     o           o         o   o    
    11     o       o       o         o   o      
    12     o         o   o         o           o
    13     o           o       o o           o  
    14       o       o         o     o     o    
    15       o     o         o     o         o  
    16       o   o         o     o             o
    17       o         o o             o o      
    18         o     o     o           o     o  
    19         o   o     o       o         o    
    20         o o             o   o     o      
    21         o       o     o       o         o

        Probabilitatea de a obtine:

    Acestea se pot urmări cu ajutorul aplicatiei 'pescar4'. Click pe download pentru a descărca această aplicatie.